Kointegrierte Prozesse

Markus Scholz hat gerade seine Dissertation Estimation of Cointegrated Multivariate Continuous-Time Autoregressive Moving Average Processes an der KIT-Fakultät für Mathematik verteidigt. Gudrun ergriff die Gelegenheit, mit ihm über die Idee und Anwendungsmöglichkeiten von Zeitreihen-Modellen zu sprechen. Prinzipiell stehen Zeitreihen einerseits für zeitlich geordnete (Mess-)Daten, die z.B. durch Abtasten (wiederholtes Messen) eines Vorgangs in der Realität entstehen. Andererseits werden sie in der Statistik als Ergebnis eines Stochastischen Prozesses interpretiert, der diese Zeitreihe als eine seiner Realisierungen erzeugt. Der stochastische Prozess ist hierbei ein Modell und soll die wichtigsten Eigenschaften der Daten erfassen. Er soll auch dazu dienen, zuverlässige Schätzungen zu liefern, wie sich die Zeitreihe wahrscheinlich in die Zukunft fortsetzt. Mitunter interessieren hier sogar nur so oberflächliche Informationen wie Saisonalität und Trends. Ein Aspekt, der im Titel der Arbeit von Markus Scholz als "Moving Average" beschrieben ist, ist die Eigenschaft, dass die Werte der Zeitreihe vor allem durch die letzten davor liegenden Meßpunkte beeinflusst sind und die "Erinnerung" an weiter in der Vergangenheit liegende Zustände abklingt. Im Modell ist hier stets eine Zufallsquelle integriert, die man sich wie ein Auswürfeln pro Zeitpunkt vorstellen kann. Wie erfolgt hier die Zuordnung zwischen Datenreihe und stochastischem Modell? In der Regel basiert die Wahl auf der Erfahrung über zuvor benutzte Modelle in ähnlichen Zusammenhängen und auf den bekannten Eigenschaften der Modelle. Anschließend müssen jedoch stochastische Tests belegen, dass die Zuordnung tatsächlich korrekt ist. Markus Scholz hat sich mit stochastischen Prozessen beschäftigt, die kontinuierlich in der Zeit sind statt - wie bisher beschrieben - diskret. Sie eignen sich z.B. zur Modellierung von Temperaturverläufen. Prinzipiell nimmt man dabei an, dass eine hoch genug gewählte Abtastrate den Übergang von diskreten Messungen zu einem als stetig angesehenen Prozess unkritisch macht. Der Aspekt, der ihn hier vor allem beschäftigt hat, war die Erweiterung bekannter Modelle um die Eigenschaft der Nicht-Stationarität. Das heißt kurz gesagt, die Grundeigenschaften des Prozesses können sich über die Zeit ändern. Das kennen wir ja auch von der Temperatur: Einerseitzs durchlaufen tägliche Tiefst-, Höchst- oder Mittelwerte der Temperatur im Jahresverlauf eine typische Kurve für eine betrachtete Region. Andererseits kann im konkreten Jahr ein untypischer Verlauf vorliegen und es ist gar nicht so leicht zu quantifizieren, ob es sich um eine untypische Beobachtung handelt oder sich z.B. die Mittelwerte tatsächlich statistisch signifikant ändern. Anders gesagt führt die Nicht-Stationarität im Modell auf Probleme bei zugehörigen Schätzungen, die in der Regel schwer zu lösen sind. Deshalb hat Markus Scholz zunächst einen handhabbaren Spezialfall ausgewählt, sogenannten kointegrierte Prozesse...